基于单元整体视角 凸显运算本质理解
——以人教版“运算定律”单元教学为例
[内容提要]：合理运算能力是技能与思维的有机整合，是学生学习数学的必要能力。基于单元整体视角，笔者结合教学经验总结出：深挖知识内涵——夯实合理运算的基点；构建完整体系——突破合理运算的要点；拓展运用环境——点燃合理运算的亮点的教学策略，促成定律形式与内涵的高度融合与统一，每一节课都是教师为班级学生打造的“私人订制”的课堂，帮助学生提高合理运算能力，提升数学素养。
[关键词]： 运算能力 教学策略 数学素养
一、单元整体教学的前置思考
（一）内容分析
人教版小学数学“运算定律”单元中主要学习加法交换律、结合律和乘法交换律、结合律、分配律以及减法、除法性质。加法交换律和结合律的知识本质是加法的意义，而加法的源头实际上是自然数的计数。自然数计数原则与顺序无关。加法交换律和结合律对算法的侧重点不同，算理上的聚焦点都是相同的，即“加法运算结果与其运算顺序无关”。乘法是加法的简便运算，所以乘法交换律和结合律的本质也是乘法（加法）的意义，乘法分配律涉及两级运算，但其本质依旧是和乘法意义相关，乘法运算结果与其运算顺序也无关。
由此可见，贯穿运算定律单元的大概念就是运算意义（包括加法的意义和乘法的意义）。剥去运算律的多重“外衣”，基于运算意义的底层逻辑帮助学生理解各个运算律特别是分配律及其变式的意义，突破学生的学习难点，是本单元教学的可取路径。
（二）整合重组
翻开人教版数学教材四年级下册“运算定律”单元，可以发现人教版是以运算形式为线索的，即先学习加法运算定律，再学习乘法运算定律。但在实际教学的过程中，学生研究完加法交换律后，很自然地会产生疑问：加法有这样的运算定律，那么其他运算中是不是也存在这样的定律呢？若在此时提出疑问，学生有了前期学习经验，会非常容易发现乘法交换律，这样的学习过程更符合学生的学习心理需求。基于这样的整体思考，本单元学习内容可调整为以运算率为线索，即交换律—结合律—交换律、结合律的应用—分配律—分配律练习—减法、除法性质—运算律的应用—拓展—整理与复习。
表1：教学内容安排表
教材安排
整合后教学内容安排
例题
教学内容
课时
教学内容
1
加法交换率
1
交换律
2
加法结合律
2
结合律
3
加法交换律、加法结合律
3
交换律、结合律的应用
4
减法性质
4
分配律
5
乘法交换律
5
分配律练习
6
乘法结合律
6
减法、除法性质
7
乘法分配律
7
运算律的应用
8
除法性质
8
拓展
9
整理与复习
二、重塑教学：探索策略、努力践行
在单元整体教学下实施合理运算的教学策略：深挖知识内涵——夯实合理运算的基点，构建完整体系——突破合理运算的要点，拓展运用环境——点燃合理运算的亮点。
图1：促进学生合理运算策略图
（一）深挖知识内涵 ——夯实合理运算的基点
知识要素是形成知识系统的基点，知识要素理解程度直接影响学生知识系统的形成。因此让学生深刻理解每一个知识要素——数学运算定律与性质的内涵，是促进合理运算的基础。现以乘法分配律这一教学重难点为例，如下图展示学生深挖知识内涵学习过程。
图2：课堂教学示意图
1、前测经验，探底学情
教育心理学家奥苏伯尔写道：“影响学习的唯一的最重要的因素是学习者已经知道了什么。”学生的“认知经验”是教师达成有效教学的重要基础。
因此笔者设计了以下前侧单，用于调查学生对乘法分配律的知晓情况，并检测学生是否能从形式上写出乘法分配律的等式。其中重点关注学生是否能从意义的角度去表征这一定律，探知学生能用哪些表征方式来证明定律成立。
图3：前测单
前测结果：有20%的学生不知道乘法分配律；有33%的学生听说过乘法分配律但是不能完整写出等式；有47%的学生知道乘法分配律，并能能正确写出等式
。其中在这知道乘法分配律的学生中，67%采用计算左右两边算式的结果来验证，画图验证的占18%，举生活中的例子验证的占10%，只有5%的学生用乘法的意义来说明等式两边相等的关系。
图4：学生乘法分配律知晓情况统计图 图5：学生表征乘法分配律统计图
前测反映的学情真实客观，计算是他们最主要、最直接的验证方式。意义、画图、情境解释都占据比例相对较少，我们既摸清了学生学习的起点和难点，也收集到了他们中最具代表性的四种表征方式，可作为课堂教学的学习材料。
2、借助直观，丰满模型
“新课标2021版”对几何直观的描述是：主要利用图形描述和分析问题，借助它可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。利用直观可以帮助学生形象地理解乘法分配律，对学习的整个过程都发挥着积极的作用。
乘法分配律的教学既要注重外形结构，更要注重内涵理解：（a＋b）×c=a×c＋b×c中，等式两边相等的道理。根据学情，课堂就围绕计算、意义、数形结合、解决问题四种理解形式展开教学。从学生中聚集起来的丰富资源，通过课堂研讨、分析、咀嚼，最后回到学生的理解中去。
（1）从计算结果的角度
以4×（5+7）=4×5+4×7为例，学生计算左边算式得数48，右边算式得数也是48，左右两边算式结果相等，用等号来连接。继而发现只要形如“（a＋b）×c=a×c＋b×c”的等式，它们的计算结果都是相等的。
（2）从乘法意义的角度
学生回答右边算式表示5个6加上7个6，合起来就是（5+7）个6，就是左边的算式。学生自觉地将乘法分配律放到“乘法意义”（ 即几个几）的数学体系中，找到了这节课重要的支点是落在“几个几相加（减）”上，体现了乘法的一脉相承性。
（3）从数学形结合的角度
学生有时天生就是数学家，用一幅图表示出了左右两边算式的意思。有数有形，数形相互佐证，对于意义的理解又提供了更多形的支撑。
（4）从问题解决的角度
学生根据生活经验创设了购物的情境，学生解释（30+20）×2是先求一套衣服的价格，再求两套的总价；而30×2+20×2是分别求出两件衣服和两条裤子的价格再求总价，从而推出（30+20）×2=30×2+20×2。
【设计意图】以往教学乘法分配律，教师往往只从计算等式左右两边结果是否相等的单一维度开展教学，并没有找出乘法分配律的核心依据。这一策略多管齐下：通过计算发现左右结果相等，通过画图发现意义相同，通过生活中的实际问题感知不同的算式可以解决同一个问题。借助直观，辅以课件演示强化学生对于乘法分配律中“几个几”意义的理解。
3、链接旧知，沟通意义
建构主义认为学生要建立起正确的认知图式，就要创设活动，让他们用已经存在的图式与新的知识有效融合，并纳入到一个知识体系中去。
回顾之前所学相关知识，设计“解释为什么”的练习活动，引导并帮助学生联系旧知（乘法的意义）解释乘法分配律的结构，进一步从结构和意义两个方面理解这一运算定律。
《我们遇到过“乘法分配律”吗？》
通过回顾二年级上册乘加、乘减，计算5×3＋5时会直接想“4个5相乘”；三年级下册学习两位数乘两位数，如14×12，即求12个14是多少，等于10个14与2个14的和，列式为14×（10+2）=14×10+14×2。
【设计意图】学生在例题或练习中寻找模型的过程，都在调整自己原来对乘法分配律的认知结构，原来的认知图式的平衡被乘法分配律不断打破，从平衡到不平衡再趋于平衡。这样，通过链接旧知，唤醒学生的已有经验，有效巩固的算理和算法，达到知识的前连后延，整合成一个体系。
4、立破结合，练中有拓
练习的目的在于巩固、内化学生的认知，这一过程不能一味正面地“立”，也需要有所变化——从不同的角度“破”固有模式，借助“一正一反”的逻辑力量，实现学生对乘法分配律“形”与“义”融会贯通。
乘法分配律练习课的设计对学生对于运算能力、简算意识有着重要的作用。按照“基础练习——对比练习——拓展练习——质疑问难”四个层次来设计有效练习，引导学生灵活运用定律主动进行简便计算。
（1）基础练习，巩固定律
第一组：117×3+117×7= 第二组：（a+3）×117=
16×38+12×16= 16×（38+b）=
（25+125）×4= m×54＋n×54=
15×（8+40）= y×8＋y×92=
第一组练习旨在让学生感知：无论公因数放在乘号前或后，只要符合“几个几＋几个几”的意义，就能使用分配律进行等价转换。第二组练习都是含有字母的形式，意在通过拓展，让学生进一步掌握数字与字母的混合形式的模型结构。
（2）对比练习，积累经验
①乘法分配律VS乘法结合律
乘法分配律和乘法结合律有时可以适用于同一道题，但是拆分的方法不同。分配律是拆成两数之和，结合律时拆成两数之积。例如：
88×125 88×125
=（80+8）×125 =11×8×125
=80×125+8×125 =11×（8×125）
=10000+1000 =11×1000
=11000 =11000
②相似题对比，合理计算
这组题提示学生具体问题具体分析，不是所有题都用乘法分配律简算的，有的题是按运算顺序计算的，不需要简算。例如，
27×（100+8） 27×100＋8
=27×100+27×8 =2700+8
=2700+216 =2708
=2916
③同一题对比，优化简算
面对同一道题，学生选择简算的方法也各不相同，表现其思维水平的差异性。通过教师练习讲评、生生对比分析，学生会自动优化方法，逐渐提高简算的能力。
☆203×27 203×27 203×27
=（200+3）×27 =203×（20+7） =203×（30-3）
=200×27+3×27 =203×20+203×7 =203×30-203×3
=5400+81 =4060+1421 =6090-609
=5481 =5481 =5481
以上三种做法都可以，但是从简算的程度上第一种做法最为简单，第二种计算稍繁，最后一种涉及退位减法则不宜选择。
挑战练习，开拓思维
① 26×11＋26×4－26×8－26×7
② 111×27+999×14-999×7
③ (7+41+744+4144+74444+414444)×25
第①题由两个因数拓展到多个因数，而且包含了加减混合运算。第②、③题都有一定的难度，看上去都没有符合乘法分配律的结构，但是如果将第②题中的27拆分成9×3就能产生999这个公因数了。第③题需要将括号内的数两两配对后提取公因数4来进行简算。
（二）构建完整体系 ——突破合理运算的要点
知识要素之间相互关联，构成一个不可分割的整体，每个知识在体系中呈现出更深刻的价值，因此知识体系的形成是突破合理运算的要点。现以乘法运算定律作为起点对合理运算体系进行整体建构。
1、局部串连 绸缪体系
新授课教学时我们的教学重点放在将弄清知识点内涵上，到了后续阶段应该点拨学生对运算定律与性质进行整体观察思考，探究在整体背景下知识新的特点。
教师在上完乘法运算定律时应顺势引导学生将相关同类运算定律进一步理性的通盘思考，挖掘它们的延续性、相关性以及各自的局限性、独特性，以便形成体系。
【案例】观察乘法的三大运算定律，寻找它们有什么相同点和不通点
运算定律
相同点
不同点
乘法交换律
a×b=b×a
都有乘法运算
只有一级运算
不改变运算顺序
只改变数的位置
乘法结合律
a×b×c=a×(b×c)
不改变数的位置
只改变运算顺序
乘法分配律
(ab)×c=a×cb×c
含乘加或乘减两级运算
含乘加或乘减两级运算,和或差与一个数的积可以拆分成两个积的和或差
【设计意图】对乘法运算定律进行对比，发现乘法交换律与结合律运用在乘法运算时，而乘法分配律在乘加、乘减中找到相应的相同因数才能运用的，突破各个运算定律相互干扰，初步串联起乘法运算定律的知识体系。
2、融会贯通 呈现体系
五个运算定律和两个运算性质，看似单独存在，但是它们之间也是相互联系的,在一定的条件下还可以相互转化，形成整体统一的运算知识体系。
除了让学生对同一种运算符号的运算定律进行连接，还要引导学生对看似不同运算定律进行求同思考，寻找共性的关联，悟理中建构起知识体系。
【案例】整理所学过的运算定律，你有什么发现？
学生经过探究将加减乘除所有运算定律、性质进行有机的整合，形成更完整的知识体系。
【设计意图】学生在思考、归纳中感悟到知识背后负载的：虽然同级运算都有交换律，但必须“抱着符号一起走”；同级运算可以添加或去掉符号，但不同运算有不同要求；除法也可以运用分配律，但运用有前提条件……从而优化了学生学习质态，形成了知识体系。
3、审思再创 完善体系
学生自主尝试去构建知识体系，教师适时点拨，让学生从创新的角度再去归纳、抽象、概括使之成为最富个性的知识体系，以此来增强学生知识体系的实效性。
【案例】《运算定律》的单元复习学生出现不同的表达形式：
①以运算形式为线索整理:
②以运算律为线索整理：
【设计意图】知识体系建构表达的形式是多样的，特别是形态自由的各种导图，将运算定律与性质之间联系，扎根在学生的脑海里，这样的知识体系图更具形象性，更有利于学生对知识提取。
【案例】《运算定律》的单元复习
学生提出是否只要知道：交换律、结合律、分配律的算理，无论是加、减、乘、除只要略加变形都可以大胆运用，不用逐个记忆的。
加法
减法
乘法
除法
交换律
a+b = b+a
a-b-c=a-c -b
a×b=b×a
a÷b÷c=a÷c÷b
结合律
a+b+c=a+(b+c)
a-b-c=a-(b+c)
a×b×c=a×(b×c)
a÷b÷c=a÷(b×c)
分配律
(ab)×c=a×cb×c
(ab)÷c=a÷cb÷c
【设计意图】这里个性化以点带面的把所学过所有的运算定律和性质都可以看成三大定律，只是连接的符号不同由此带来不同的表达而已。这种高度抽象、概括、创新了知识体系的架构，不仅大大减轻学生记忆的负担，体现了数学抽象的基本思想，更使数学学习的价值得以体现。
（三）拓展运用环境 ——点燃合理运算的亮点
运算定律与性质所构建成的知识系统，需要放置在各种环境中运用，以成就学生合理运算能力，形成点燃合理运算学习的亮点。
人教版数学教材将运算定律与性质的学习集中在第八册教材第三单元统一进行教学。但是这些运算定律与性质不仅仅运用在整数则运算中，可以拓展在各个数集运算之中，发挥其在运算中的作用。
1、迁移扩充，体会运用
将运算定律与性质迁移到小数等更广阔的数的范畴中，让学生体会到数学运算定律与性质的通用性。
【案例】运算定律推广到小数
【设计意图】学生自主探究发现加减法的运算定律与性质也可以用小数中，为学生运算定律与性质运用范畴的突破迈出实质性的第一步,培养了运用数学运算定律与性质的自觉性。
2、引申联想，领悟运用
有了加减法数学运算定律与性质的拓展运用之后，我们可以让学生进行联想，看看运算定律与性质还能运用在哪些数的范围中，建立起自主合理运算的意识与能力。
【案例】运算定律推广到小数
【设计意图】通过学生联想运算定律与性质的运用范围,实现学生对运算探究学习的联想，为小学后续甚至初中继续学习运算定律与性质架设好桥梁，以便学生能更好学习灵活运用相关知识。
参考文献：
[1]刘加霞. 运算律的本质、内容进阶与教学建议 [J]. 教学月刊小学版(数学), 2023, (12): 18-22.
[2] 薛彩霞. 核心素养视域下的单元教学——以“运算律”单元教学为例 [J]. 小学教学参考, 2024, (05): 49-52.
